СИБИРСКИЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ

АННОТАЦИИ

Если
$F^n$~--- $C^2$-регулярная $n$-мерная
поверхность в евклидовом пространстве
$\Bbb E$
произвольной, в частности, бесконечной размерности,
$X_0\in F^n$, $P_{X_0}^n$~---
касательная плоскость в точке
$X_0$, $\Lambda _{F^n, X_0}$~---
множество всех прямых
$l\subset P_{X_0}^n$,
проходящих через
$X_0$
и
$l\in \Lambda _{F ^n,X_0}$,
то нормальная составляющая
$\skew {-3}\vec\varkappa _L^n(X_0)$
вектора кривизны
$C^2$-регулярной
кривой
$L\subset F^n$,
касающейся
$l$
в точке
$X_0$,
имеет значение
$\vec K_{F^n,X_0}(l)$,
не зависящее, как установлено в \S\thinspace 3, от
$L$.
Так определенная функция
$\vec K_{F^n,X_0}$
называется векторной кривизной
$F^n$
в точке
$X_0$.
Если
$\widetilde{F}^n$~---
риманово пространство, соответствующее поверхности
$F^n$, $W$~---
2-мерное направление
$\widetilde{F}^n$
в точке
$X_0$, $\vec K_{F^n,X_0}^W$~---
сужение
$\vec K_{F^n,X_0}$
на подмножество
$\Lambda _{F^n,X_0}$,
соответствующее
$W$,
то существует универсальная характеристика функции
$K_{F^n,X_0}^W$,
равная при
$F^n\in C^3$
секционной кривизне
$K_{\widetilde{F}^n,X_0}^W$
пространства
$\widetilde{F}^n$
в точке
$X_0$
в направлении
$W$.
Различные варианты такого обобщения теоремы Гаусса,
получающейся при
$n=2$, $\dim \Bbb =3$,
доказываемые в \S\thinspace 4, соответствуют различным
интерпретациям значений векторной кривизны, установленным в~
\S\thinspace 3.