СИБИРСКИЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ

АННОТАЦИИ

Исследуются вопросы строения образа $\Image f'$
производной всюду дифференцируемого отображения
$f:\Delta\to X$,
где $X$~--- метризуемое локально выпуклое пространство и
$\Delta$~--- область пространства ${\Bbb R}^n$.
Для этой цели вводится следующее понятие: множество $U\subset
X$ называется {\it слабо связным}, если его нельзя
представить в виде объединения $U=\bigcup\limits_{t\in
T}U_t$ семейства множеств $U_t$ таких, что
$U_t\ne U$, $U_t\cap \cll (U\setminus U_t)=\emptyset$ для каждого $t\in T$ и
$U_{t_1}\cap \cll  \co U_{t_2}=\emptyset$, если $t_1, t_2\in T$ и
$t_1\ne t_2$.  Доказана теорема о том, что образ
$\Image f'$ производной вышеописанного отображения является слабо
связным множеством в пространстве $X^n$. При наложении некоторых
дополнительных условий установлена и обратная теорема, а именно:
если $G$~--- непустой слабо связный компакт в пространстве Фреше
$X$, который является к тому же локально слабо связным
множеством, то тогда $G$ есть образ производной некоторого
дифференцируемого отображения $f:[0,1]\to X$.  Специфику
многомерного случая подчеркивает построенный пример
дифференцируемой функции $f:[0,1]\to{\Bbb R}^2$, образ
производной которой является вполне несвязным компактом.
Библиогр.~2.