СИБИРСКИЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ

АННОТАЦИИ

Изучаются свойства отображений
$f:U\to\Bbb R^m$,
$U$
--- область (открытое связное множество) в
$\Bbb R^n$,
близких к гармоническим,
$n=2,3,\dots$,
$m=1,2,\dots$.
Последнее понятие эквивалентно тому,
что
$f$
обладает обобщенными (по Соболеву) частными производными
второго порядка
$tial_{js}f$,
локально суммируемыми в
$U$
в степени
$p=p(f)>n$,
и является решением дифференциального неравенства
$|\triangle f(x)|(=|\sum_{j=1}^ntial_{jj}f(x)|)
\le\varepsilon\{n\sum_{j,s=1}^n|tial_{js}f(x)|^2\}^{1/2}$,
$0\le\varepsilon<1$
(такого рода отображения автором названы
$\varepsilon$-квазигармоническими).
Установлено, что степень суммируемости производных
$tial_{js}f$
неограниченно возрастает, когда
$\varepsilon\to 0$;
для любого
$p>1$
получена оценка близости производных
$tial_{js}f$
к производным
$tial_{js}g$
гармонических отображений
$g$
в
$L_p$-норме;
как для отображений
$f$,
так и для их производных первого порядка
$tial_j f$,
$j=1,\dots,n$,
получены аналоги классической теоремы Лиувилля о постоянстве
ограниченной гармонической функции
$g:\Bbb R^n\to\Bbb R$;
доказаны теоремы о замкнутости классов
$\frak G_{n,m}(\varepsilon)$
(всех)
$\varepsilon$-квазигармонических
отображений,
$0\le\varepsilon<1$,
и о компактности семейств отображений из этих классов в
топологии локально равномерной сходимости.