СИБИРСКИЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ

АННОТАЦИИ

В дальнейшем всюду
$(X,\Cal A,\mu)$
и
$(Y,\Cal B,\nu)$~---
конечные измеримые пространства. Оператор
$S:L_{\mu}^p \to L_{\nu}^p$
называется оператором взвешенного сдвига, если его можно представить в
виде
$\pi T_\varphi $,
где
$\pi$~---
оператор умножения на функцию
$\pi$, $T_\varphi : x\to x\circ\varphi $,
$\varphi :Y\to X$~---
измеримое отображение.
 {\bf Теорема.} {\sl Если
$\pi T_\varphi :L_{\mu}^p \to L_{\nu}^p$~---
ограниченный оператор взвешенного сдвига,
$1\le p<\infty$, $\pi\in L_{\nu}^p $,
то
$T_\varphi^\circ(|\pi|)\in L_{\mu}^\infty$
и                        }
$$
\|\pi T_\varphi \| =
\bigl({\bigl\| T_\varphi ^\circ(|\pi|^p)\bigr\|}_{L^\infty}\bigr)^{1/p}.
$$
 {\bf Теорема.} {\sl Если
$T$, $S:L_{\mu}^p \to L_{\mu}^p$~---
ограниченные операторы,
$1< p<\infty$,
где
$T$
интегрален,
$S$~---
оператор взвешенного сдвига, то}
$$
\| S-T \| \ge\| S\|.
$$
Библиогр.~19.