СИБИРСКИЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ

АННОТАЦИИ

Доказывается, что если локально нильпотентная группа
$G$
допускает расщепляющий автоморфизм
$\varphi$
простого порядка
$p$,
то на ней для некоторых
$p$-ограниченных
натуральных чисел
$k(p)$
и
$l(p)$
выполняются тождества
$\bigl[x_1^{p^{k(p)}},x_2^{p^{k(p)}},\dots,x_{h+1}^{p^{k(p)}}\bigr]=1$
(означающие, что подгруппа
$G^{p^{k(p)}}$
нильпотентна ступени
$h(p)$,
т.~е.
$\gamma _{h(p)+1}\bigl(G^{p^{k(p)}}\bigr)=1$)
и
$[x_1,x_2,\dots,x_{h+1}]^{p^{l(p)}}=1$,
где
$h(p)$~---
функция Хигмэна, ограничивающая ступень нильпотентности
нильпотентной группы с регулярным автоморфизмом простого порядка
$p$.
Автору пока неизвестно, можно ли заменить последнее тождество
равенством вида
$\bigl(\gamma _{h(p)+1}(G))^{p^{m(p)}}\bigr)=1$.
Эти результаты представляют собой первые шаги по направлению к
доказательству гипотезы о том, что многообразие
$LN\goth M_p$
локально нильпотентных групп, допускающих расщепляющий
автоморфизм простого порядка
$p$,
является объединением некоторого нильпотентного подмногообразия
$\goth N_{c(p)}\cap \goth M_p$
и подмногообразия
$\goth B_p \cap LN \goth M_p$
групп периода
$p$.
(Класс групп
$LN \goth M_p$
является многообразием по теореме автора (РЖМат., 1986, 10А165)).
Хотя в полученном результате значения периодов далеки от
предполагаемого
$p$,
значения ступеней нильпотентности неулучшаемы благодаря
использованию недавнего результата Н.~Ю.~Макаренко, уточнившей
результат работы (РЖМат., 1986, 4А208). Так как всякая
расщепляемая конечная
$p$-группа
представима в виде полупрямого произведения
$P\leftthreetimes\langle\varphi \rangle$,
где
$\varphi $~---
расщепляющий автоморфизм простого порядка
$p$
группы
$P$,
то имеются также соответствующие следствия о строении
таких групп. Библиогр. 15.