СИБИРСКИЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ

АННОТАЦИИ

Пусть  $G$ --- конечная группа
и  $\sigma =\{\sigma_{i} | i\in I\}$   ---
некоторое разбиение множества простых чисел  $\Bbb{P}$. Тогда $G$
называется {\it $\sigma$-нильпотентной}, если $G= A_{1}\times \cdots
\times A_{r}$, где $A_{i}$ --- $\sigma _{i_{j}}$-группа для некоторого $i_{j}=i_{j}(A_{i})$.
Множество  $ {\Cal H}$ подгрупп из  $G$ называется {\it полным холловым $\sigma
$-множеством} в $G$, если каждый член $\ne 1$ из
 ${\Cal H}$ является холловой  $\sigma _{i}$-подгруппой в $G$ для некоторого $i\in I$ и
${\Cal H}$ содержит в точности одну холлову  $\sigma
_{i}$-подгруппу из $G$ для каждого такого $i$, что  $\sigma _{i}\cap  \pi(G)\ne \emptyset$.
Подгруппа $A$ из $G$ называется  {\it $\sigma$-квазинормальной}  или
 {\it $\sigma$-перестановочной} [1] в $G$, если $G$ содержит такое полное
холлово  $\sigma$-множество
 $\Cal H$, что $AH^{x}=H^{x}A$ для всех $H\in {\Cal H}$ и всякого
$x\in G$. Символ  $r(G)$ (соответственно $r_{p}(G)$) обозначает
{\it ранг} (соответственно
{\it $p$-ранг})  $G$.

Пусть  $\Cal H$
--- полное холлово $\sigma$-множество из $G$. Доказано, что: (i) если
 $G$ разрешима, $r(H) \leq r\in \Bbb{N}$ для всех $H\in \Cal H$
и каждая $n$-максимальная
подгруппа из $G$ $(n > 1)$ $\sigma$-квазинормальна в $G$, то
$r(G) \leq n+r-2$; (ii) если   каждый член из $\Cal H$ разрешим
 и каждая  $n$-минимальная подгруппа из $G$
$\sigma$-квазинормальна
в $G$, то $G$ разрешима и $r_{p}(G) \leq n+r_{p}(H)-1$
 для всех $H\in \Cal H$ и нечетных $p\in \pi (H)$.