СИБИРСКИЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ

АННОТАЦИИ

Подгруппа $H$ группы $G$ называется {\it пронормальной},
если для любого
элемента $g\in G$ подгруппы $H$ и $H^g$ сопряжены в
подгруппе $\langle H, H^g\rangle$.
В [1] была высказана гипотеза  о том, что
подгруппа нечетного индекса в конечной простой группе всегда пронормальна.
Недавно [2] авторы подтвердили эту гипотезу
 для всех конечных простых групп, за исключением $PSL_n(q)$, $PSU_n(q)$,
$E_6(q)$ и ${}^2E_6(q)$, где $q$ во всех случаях нечетно и $n$ не является
степенью числа $2$, а также $P\operatorname{Sp}_{2n}(q)$, где $q \equiv \pm 3 \pmod 8$.
Однако в [3]
авторами было доказано,  что при $q\equiv\pm 3\pmod 8$ и $n\equiv 0\pmod 3$
простая симплектическая группа $P\operatorname{Sp}_{2n}(q)$ содержит непронормальную
подгруппу нечетного индекса. Тем самым гипотеза  о пронормальности подгруппы
нечетного индекса в конечной простой группе была
опровергнута.

Как естественное расширение данной гипотезы возникает проблема классификации
конечных неабелевых простых групп, в которых любая подгруппа нечетного индекса
пронормальна. В настоящей работе продолжается изучение этой проблемы для
симплектической простой группы~$P\operatorname{Sp}_{2n}(q)$ при $q \equiv \pm 3 \pmod 8$
(в~отсутствие этого ограничения подгруппы нечетных индексов пронормальны).
Доказано, что если  $n$ не является числом вида $2^m$ или $2^m(2^{2k}+1)$,
то данная группа содержит непронормальную подгруппу нечетного индекса.
Доказано, что если $n=2^m$, то все подгруппы нечетных индексов в
группе~$P\operatorname{Sp}_{2n}(q)$ пронормальны. Для случая $n=2^m(2^{2k}+1)$
и $q \equiv \pm 3 \pmod 8$ вопрос о пронормальности подгрупп нечетных индексов
в группе $P\operatorname{Sp}_{2n}(q)$ пока остается открытым.