СИБИРСКИЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ

АННОТАЦИИ

Для интегрального функционала
$$
\goth I(u(x),\xi(x))=\int\limits_{\Omega }L(x,u(x),\xi(x))\,dx\quad
(L(x,u,\xi):\Bbb R^n\times \Bbb R^m\times \Bbb R^l\to \Bbb R)
$$
устанавливается, что из сходимости
$u_n(x)$
к
$u(x)$
в
$L_1$-норме и слабой сходимости в
$L_1$
последовательности
$\xi_n(x)$
к
$\xi(x)$
вытекают соответственно сходимости в
$L_1$
последовательности
$\xi_n(x)$
к
$\xi(x)$
и
$L(x,u_n(x),\xi_n(x))$
к
$L(x,u(x),\xi(x))$,
если
$\goth I(u_n(x),\xi_n(x))$
сходится к
$\goth I(u(x),\xi(x))<\infty $
и для п.~в.
$x\in \Omega $
функция
$L(x,u(x),v)$
строго субдифференцируема в точке
$v=\xi(x)$
(под строгой субдифференцируемостью функции
$L(v)$
в точке
$v_0$
подразумеваем выполнение неравенства
$L(v)-L(v_0)>(f,v-v_0)$
для всех
$v\ne v_0$
и всех
$f\in tial L(v)|_{v=v_0}\ne \emptyset$).
На основании этого факта формулируется достаточное условие исключения
эффекта Лаврентьева, при этом в одномерном случае
($\Omega =[a,b]$)
доказывается, что условие равномерного по
$(x,u)$
роста
$L$
по
$\xi$
исключения эффекта Лаврентьева не может быть в некотором смысле ослаблено.
Библиогр.~21.