СИБИРСКИЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ

АННОТАЦИИ

Исследуется разрешимость случайных систем уравнений в свободной абелевой группе
$\Bbb{Z}^m$ конечного ранга $m$.
Пусть $\operatorname{SAT} (\Bbb{Z}^m, k, n)$ и $\operatorname{SAT} _{\Bbb{Q}^m}(\Bbb{Z}^m, k, n)$ обозначают
множества всех систем из $n$ уравнений от $k$ неизвестных в группе
$\Bbb{Z}^m$, разрешимых
соответственно в $\Bbb{Z}^m$ и $\Bbb{Q}^m$.
Доказано, что асимптотическая плотность $\rho(\operatorname{SAT} _{\Bbb{Q}^m}(\Bbb{Z}^m, k, n))$
множества $\operatorname{SAT} _{\Bbb{Q}^m}(\Bbb{Z}^m, k, n)$ равна $1$ при $n \leq k$ и
$0$ при
$n > k$.
Для множества $\operatorname{SAT} (\Bbb{Z}^m, k, n)$ при $n < k$ получены оценки для нижней и
верхней
асимптотических плотностей, показано, что они лежат в интервале от
$\Big( \prod\limits_{j = k - n + 1}^{k} \zeta(j) \Big)^{-1}$
до $\big( \frac{\zeta(k+m)}{\zeta(k)} \big)^n$, где $\zeta(s)$~--- дзета-функция
Римана.
При $n \leq k$  установлена связь между асимптотической плотностью множества
$\operatorname{SAT} (\Bbb{Z}^m, k, n)$ и суммами обратных наибольших делителей по матрицам
полного ранга.
Исходя из этого результата выдвинута гипотеза относительно асимптотической
плотности множества $\operatorname{SAT} (\Bbb{Z}^m, n, n)$.
Доказано, что $\rho(\operatorname{SAT} (\Bbb{Z}^m, k, n)) = 0$ при $n > k$.