СИБИРСКИЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ

АННОТАЦИИ

В~1940~г. Лебег доказал, что каждый 3-многогранник с минимальной
степенью не менее~4 содержит 3-грань, набор степеней вершин
которой мажорируется одной из следующих последовательностей:
$(4,4,\infty)$, $(4,5,19)$, $(4,6,11)$, $(4,7,9)$, $(5,5,9)$,
$(5,6,7)$. Это описание было усилено Бородиным (2002) следующим
образом: $(4,4,\infty)$, $(4,5,17)$, $(4,6,11)$, $(4,7,8)$,
$(5,5,8)$, $(5,6,6)$.

Для триангуляций с минимальной степенью не менее~4 Йендроль (1999)
дал такое описание граней:
$(4,4,\infty)$, $(4,5,13)$, $(4,6,17)$, $(4,7,8)$, $(5,5,7)$,
$(5,6,6)$.

Мы даем следующее описание граней в плоских триангуляциях (в
частности, для триангулированных 3-многогранников) с минимальной
степенью не менее 4, в котором все параметры неулучшаемы и
достигаются независимо от других: $(4,4,\infty)$, $(4,5,11)$,
$(4,6,10)$, $(4,7,7)$, $(5,5,7)$, $(5,6,6)$.

Попутно опровергается гипотеза Йендроля (1999) о комбинаторном
строении граней в триангулированных 3-многогранниках.