СИБИРСКИЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ

АННОТАЦИИ

Пусть
${\Cal A}$ ~---
множество нормированных аналитических функций
$f(z)=z+\sum\limits_{k=2}^{\infty}a_kz^k$
в единичном круге
$|z|<1$
и
$s_n(z)$ ~---
$n$-я частичная сумма
$f(z)$.
Получена оценка для
$\bigl|\frac{s_{n}(z)}{f(z)}-1\bigr|$,
когда
$f\in {\Cal A}$
однолистна в
${\Bbb D}$.
Пусть
${\Cal U}$~---
множество всех
$f\in {\Cal  A}$
в
${\Bbb D}$,
удовлетворяющих условию
$$
\biggl| f'(z)\biggl(\frac{z}{f(z)} \biggr)^{2}-1\biggr| < 1
$$
при
$|z|<1$.
В случае
$f''(0)=0$
доказано, что все соответствующие
$s_n$
для
$f\in{\Cal U}$
принадлежат
${\Cal U}$
в круге
$  |z|< 1-\frac{3\log n-\log(\log n)}{n}$
при
$n\ge 5$.
В этом случае показано также, что
$\Repa  \left (f(z)/s_n(z)\right )>1/2$
в круге
$|z|< \sqrt{\sqrt{5}-2}$.
Найдены необходимые условия на коэффициенты для  функций из
${\Cal U}$
и соответствующей проблемы  радиуса в подклассах из
${\Cal U}$.
В качестве следствия получено, что если
$f\in {\Cal U}$,
то для
$n\geq 3$
выполнена оценка
$$
\left |\frac{f(z)}{s_{n}(z)} -\frac{4}{3}\right |<\frac{2}{3} \quad
\text{для}\
 |z|$$