СИБИРСКИЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ

АННОТАЦИИ

Дано описание кольцевых $Q$-гомеоморфизмов в
${\Bbb R}^n$,
$n\geq2$, и найден ряд условий нормальности
семейств кольцевых $Q$-гомеоморфизмов. В частности, показано, что
для нормальности семейства достаточно, чтобы мажоранта $Q(x)$ имела
сингулярности логарифмического типа порядка не выше $n-1 $. Другое
достаточное условие нормальности состоит в том, что функция $Q(x)$
имеет конечное среднее колебание в каждой точке, к примеру, если
$Q(x)$ имеет конечное среднее значение по инфинитезимальным шарам.
Определение кольцевых $Q$-гомеоморфизмов мотивировано
кольцевым определением квазиконформности по Герингу. В частности,
отображения с конечным искажением длины удовлетворяют емкостному
неравенству, которое положено в основу определения кольцевых
$Q$-гомеоморфизмов. Поэтому в качестве следствий развитой
теории получаются критерии нормальности семейств гомеоморфизмов $f$
конечного искажения длины и класса Соболева $W_{\loc }^{1,n}$ в
терминах внутренней дилатации $K_I(x , f)$. Кроме того,
в работе установлена замкнутость класса сильных кольцевых
$Q$-гомеоморфизмов при локально суммируемой $Q $.