СИБИРСКИЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ

АННОТАЦИИ

Изучается интегральный оператор вида
$$
T_g(f)(z)=\int\limits_0^{z_1}\dots\int\limits_0^{z_n}f(\zeta_1,\dots,\zeta_n)g(\zeta_1,,\dots,\zeta_n)d\zeta_1\dots\zeta_n
$$
на пространстве аналитических функций на
единичном поликруге $U^n$
в ${\Bbb C}^n.$
Доказано, что этот оператор ограничен в пространстве со смешанной нормой
$$
{\Cal A}^{p,q}_\alpha(U^n)
=\biggl\{f\in H(U^n)\mid
\int\limits_{[0,1)^n}M_p^q(f,r)
\prod_{j=1}^n(1-r_j)^{\alpha_j} \,dr_j<\infty\biggr\},
$$
где
$p,q\in[1,\infty)$
и
$\alpha=(\alpha_1,\dots,\alpha_n)$
таковы, что
$\alpha_j>-1$
при любом  $j=1,\dots,n$
тогда и только тогда, когда
$\sup\limits_{z\in U^n}\prod\limits_{j=1}^n(1-|z_j|)|g(z)|<\infty.$
Доказано также, что  этот оператор компактен тогда и только тогда, когда
$\lim\limits_{z\to tial
U^n}\prod\limits_{j=1}^n(1-|z_j|)|g(z)|=0.$