СИБИРСКИЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ

АННОТАЦИИ

Исследуются крутильные колебания тела вращения внутри
сосуда, заполненного вязкой несжимаемой жидкостью, под действием момента
упругой силы. Доказывается асимптотическая устойчивость
состояния покоя. Используются два подхода: прямой метод Ляпунова
и метод линеаризации. Глобальная асимптотическая устойчивость
устанавливается при помощи однопараметрического семейства
функционалов Ляпунова. Затем исследуются малые колебания системы
жидкость-тело. Показано, что линеаризованный оператор задачи о
вращении тела в жидкости можно реализовать как операторную
матрицу, получаемую добавлением двух скалярных строк и двух
столбцов к оператору Стокса. Таким образом, этот оператор является
двумерным окаймлением оператора Стокса и наследует многие его
свойства, в частности, дискретность спектра. Задача на
собственные значения для линеаризованного оператора сводится к
решению дисперсионного уравнения. Исследование уравнения
показывает, что все собственные значения расположены внутри
правой (устойчивой) полуплоскости. На основе этого затем
проводится обоснование линеаризации. С применением абстрактной
теоремы В.~И.~Юдовича доказывается асимптотическая устойчивость
в шкале функциональных пространств, бесконечная
дифференцируемость решений и затухание всех их производных со
временем.