СИБИРСКИЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ

АННОТАЦИИ

Пусть  $\xi,~\xi(1),~\xi(2),\dots $---
независимые одинаково распределенные случайные  величины
такие, что $-\xi$
семиэкспоненциально,
т.~е.  ${\bold P}(-\xi\ge t)=e^{-t^\beta L(t)}$, $\beta\in (0,1)$,
$L(t)$~--- медленно меняющаяся функция при $t\to \infty$, обладающая
некоторыми свойствами гладкости (см. ниже).
Пусть ${\bold E}\xi=0$, ${\bold D}\xi=1$,
$S(k)=\xi(1)+\dots +\xi(k)$. Для фиксированного $d>0$
определим момент  $\eta_+(u)=
\inf\{k\ge 1:~S(k)+kd > u\}$
первого прохождения снизу вверх  неотрицательного  уровня $u\ge 0$
блужданием $S(k)+kd$
с положительным
сносом $d>0$. Доказано, что в широких предположениях
при $n\to \infty$  и    для $u=u(n)\in [0,~dn-N_n\sqrt{n}]$
справедливо соотношение
$$
{\bold P}(\eta_+(u)>n)
\sim \frac{{\bold E}\eta_+(u)}{n}{\bold P}(S(n)\le x),
\eqno(0.1)
\hskip20pt
$$
где $x=u-nd<0$, произвольная фиксированная  последовательность $N_n$,
не превышающая  $d\sqrt{n}$,
стремится  к $\infty$.
Условия, при которых доказано соотношение (0.1), полностью
совпадают с условиями, при которых в [1]
найдена асимптотика вероятности
${\bold P}(S(n)\le x)$ для $x\le -\sqrt{n}$ (для
$x\in [-\sqrt{n}, 0]$ она известна из центральной предельной теоремы).