СИБИРСКИЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ

АННОТАЦИИ

Пусть
$f:M^{m}\rightarrow {\Bbb{R}}^{m+1}$~---
погружение
$m$-мерного связного ориентируемого гладкого многообразия
$M$
без края и
$\xi $~---
поле  единичных нормалей вдоль
$f$.
Для вещественного
$t$
определим отображение
$f_{t\xi }:M^{m}\rightarrow \Bbb{R}^{m+1}$,
полагая
$f_{t\xi}(p)=f(p)+t\xi (p).$
Известно, что, когда
$f_{t\xi }$~---
погружение, для любого
$p\in M$
число фокальных точек на промежутке, соединяющем
$f(p)$
и
$f_{t\xi }(p)$,
целое.  Это число, называемое индексом параллельного погружения
$f_{t\xi }$,
лежит в промежутке между~0 и
$m$.
Если
$f:\Bbb S^m\to \Bbb R^{m+1}$~---
вложение, то изучается  наличие компоненты индекса
$\mu $
в пространстве погружений
$\Omega (f)$.
Известно, что если существует компонента с индексом
$\mu =m$
в
$\Omega (f)$,
то
$f$~---
строго выпуклое вложение в
$\Bbb S^m$.
Описана структура
$\Omega (f)$,
когда
$f(\Bbb S^m)$
выпукло и невыпукло.
Показано также, что наличие компоненты индекса
$\mu $
в
$\Omega (f)$
позволяет строить непрерывное поле касательных плоскостей размерности
$\mu $
на
$\Bbb S^m$,
откуда выводится, что для некоторых значений
$\mu $
не существует компоненты индекса
$\mu $
на
$\Omega (f)$.