СИБИРСКИЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ

АННОТАЦИИ

В пространстве переменных $(x,t)\in\Bbb{R}^{n+1}$ рассматривается
линейное гиперболическое уравнение второго порядка с коэффициентами,
зависящими лишь от~$x$. Для~области $D\subset\Bbb{R}^{n+1}$,
проекция которой на пространство переменной $x$ является компактной
областью~$\Omega$,
рассматривается вопрос о построении оценки устойчивости решения
задачи Коши с данными на боковой границе $S$ области~$D$. Известный метод
получения такой оценки основан на карлемановских оценках с весовой функцией
экспоненциального типа $\exp (2\tau \varphi(x,t))$, построение которой для
гиперболических уравнений с переменными коэффициентами встречает определенные
трудности. Показано, что для области~$D$,  симметричной относительно
плоскости $t=0$, в~качестве функции $\varphi(x,t)$ может быть
взята $\varphi(x,t)= s^2(x,x^0)-p  t^2$, в~которой $ s(x, x^0)$~---
расстояние между точками $x$ и $x^0$ в~римановой метрике, индуцированной
дифференциальным уравнением, $p$~--- некоторое положительное число,
меньшее единицы, а фиксированная точка $x^0$ может либо принадлежать области
~$\Omega$, либо быть вне ее. Относительно метрики предполагается, что
секционные кривизны соответствующего риманова пространства
ограничены сверху некоторым числом $k_0\ge0$.
Для случая пространства неположительной кривизны
параметр $p$ может быть взят сколь
угодно близким к~$1$, в~этом случае оценки устойчивости приводят
в~предельном случае $p\rightarrow 1$ к теореме единственности,
точно описывающей область продолжения решения через
поверхность~$S$. Для пространства ограниченной
положительной кривизны построение карлемановской оценки оказывается
возможным лишь при
выполнении некоторого условия малости произведения  $k_0$ и
$\sup\limits_{x\in\Omega} s^2(x,x^0)$.