СИБИРСКИЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ

АННОТАЦИИ

Предлагается новый подход к определению понятия решения
линейных и нелинейных параболических уравнений. Основная идея
состоит в изучении связей между решениями динамических задач,
представленных в вариационной форме
$$
\rho(x,u,u_x)\,u_t=\frac{d}{dx}\,\frac{tial \Phi(x,u,u_x)}{tial u_x}-
\frac{tial \Phi(x,u,u_x)}{tial u},\quad \frac{tial^2
\Phi}{tial u_x^2}\ge \delta>0,
$$
и свойствами соответствующих функционалов Ляпунова:
$$
J[u](t)=\int\limits_0^1\Phi(x,u(x,t),u_x(x,t))\,dx,
$$
которые строго убывают вдоль траекторий вышеуказанных динамических
уравнений, за исключением точек равновесия:
$$
\frac{dJ}{dt}=-\int\limits_0^1 \rho(x,u,u_x)\,u_t^2\,dx,\quad\rho>0.
$$
На основе построенных Т.~И.~Зеленяком семейств функционалов
Ляпунова оказалось возможным предложить новый подход к
определению решений как линейных, так и нелинейных параболических
задач. Все результаты приводятся для случая гладких решений.
Отметим, что функционалы Ляпунова могут быть использованы при
изучении решений с неограниченными градиентами.