Важнейшие научные результаты Института математики за 2005 год

• 1.1.1. Алгебра, теория чисел и математическая логика
• 1.1.2. Геометрия и топология
• 1.1.3. Математический анализ, дифференциальные уравнения и математическая физика
• 1.1.4. Теория вероятностей и математическая статистика
• 1.7.1. Физика элементарных частиц и фундаментальных взаимодействий
• 2.2.2. Математическое моделирование, методы вычислительной и прикладной математики и их применение

1.1.1. Алгебра, теория чисел и математическая логика

1. Изучены типы изоморфизмов и элементарные теории полурешеток Роджерса. Доказано несовпадение типов изоморфизма вычислимых нумераций семейств множеств из различных уровней арифметической иерархии. Установлена бесконечность элементарных типов полурешеток Роджерса в каждом уровне арифметической иерархии (С. С. Гончаров совместно с С. А. Бадаевым (Казахстан), А. Сорби (Италия)).
2. Доказана формульная определимость главной подрешетки полурешетки Роджерса конечного частично упорядоченного множества. Для доказательства потребовалось найти обобщение теоремы Денисова о продолжении вложений полурешеток Лахлана на идеалы полурешеток Роджерса (Ю. Л. Ершов).
3. Получено описание всех подмножеств в группе автоморфизмов упорядочения на рациональных числах, определимых в языке первого порядка, а также в группах таких автоморфизмов, вычислимых в идеалах тьюринговых степеней (А. С. Морозов).
4. Доказана сильная разрешимость проективного свойства Бета в расширениях модальной логики Гжегорчика (Л. Л. Максимова).
5. Для всех элементарных теорий булевых алгебр найдены точные оценки для перехода от n-конструктивности моделей (разрешимости ∑_n-диаграммы) к сильной конструктивизируемости (существованию представления с разрешимой диаграммой первого порядка) (П. Е. Алаев).
6. Доказано, что класс решеток, вложимых в решетки подполугрупп n-нильпотентных полугрупп, является конечно базируемым многообразием. Установлено, что класс решеток, вложимых в решетки подполугрупп свободных полугрупп, совпадает с классом решеток, вложимых в прямые произведения конечных ограниченных снизу решеток (М. В. Семенова).
7. Доказана реализуемость всех возможных пар вида <квазипорядок Рудина-Кейслера; функция распределения числа предельных моделей> в классе теорий с конечным числом счетных моделей (С. В. Судоплатов).
8. Изучены связи между строением конечной группы и свойствами ее графа простых чисел. Получен критерий смежности в графе простых чисел для всех конечных простых групп. Для графа простых чисел каждой конечной простой группы найдены: независимое множество с наибольшим числом вершин, независимое множество, содержащее 2, с наибольшим числом вершин и порядки этих множеств (А. В. Васильев, Е. П. Вдовин).
9. Доказана теорема Лагранжа для конечных луп Муфанг (А. В. Заварницин совместно с А. Н. Гришковым (Бразилия)).
10. Построены генераторы для порождения случайных нормальных форм для свободных конструкций свободных групп и алгоритмы для решения классических алгоритмических проблем в них. Доказано, что эти алгоритмы являются полиномиальными на генерическом (большом) множестве входных данных (ОФ ИМ СО РАН, В. Н. Ремесленников совместно с А. В. Боровиком, А. Г. Мясниковым (Англия)).

1.1.2. Геометрия и топология

11. Построены аналоги представления Вейерштрасса в трехмерных некоммутативных группах Ли, описаны поверхности постоянной средней кривизны в этих группах в терминах голоморфности обобщенных квадратичных дифференциалов Хопфа (И. А. Тайманов совместно с Д. А. Бердинским (магистрант НГУ)).
12. Установлены необходимые и достаточные условия существования строго циклических разветвленных накрытий (g,1)-узла в трехмерном многообразии. Получена формула для числа таких накрытий заданного узла (А. Ю. Веснин совместно с М. Мулаццани (Италия), П. Кристофори (Италия)).

1.1.3. Математический анализ, дифференциальные уравнения и математическая физика

13. Исследовано распределение значений квазимероморфных отображений поляризуемых групп Карно (С. К. Водопьянов).
14. Установлена устойчивость отображений с ограниченным искажением в теореме Лиувилля на областях Джона групп Гейзенберга (Д. В. Исангулова).
15. Найдены необходимые и достаточные условия того, чтобы кривая являлась образом градиента гладкой функции двух переменных. Указаны приложения результата к вопросу о разрешимости уравнений в частных производных (М. В. Коробков совместно с Е. Ю. Пановым (Новгород)).
16. Получены теоремы о восстановлении классов порядково ограниченных операторов по свойствам ядер их слоев (С. С. Кутателадзе).
17. Для решений квазиэллиптических уравнений при общих краевых условиях на границе полупространства установлены аналоги формулы Пуассона и принципа максимума Миранды – Агмона (В. С. Белоносов).
18. Для линейного гиперболического уравнения с переменными коэффициентами найдена в явном виде весовая функция, играющая основную роль в методе Карлемана при построении оценок устойчивости в целом решения некорректной задачи Коши (В. Г. Романов).
19. Доказано, что решения класса систем дифференциальных уравнений больших размеров, возникающих при моделировании генных сетей, аппроксимируются решениями дифференциального уравнения с запаздывающим аргументом. Получены условия асимптотической устойчивости стационарных решений нелинейных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом и установлены равномерные оценки решений (Г. В. Демиденко, И. И. Матвеева совместно с В. А. Лихошваем (ИЦиГ СО РАН)).
20. Исследованы, условия наилучшей реконструкции неизвестной среды в теории рентгеновской томографии. Для ряда предложенных постановок оптимизационных задач доказаны теоремы существования решения и построены алгоритмы (Д. С. Аниконов, Д. С. Коновалова совместно с И. В. Прохоровым (ИПМ ДВО РАН).

1.1.4. Теория вероятностей и математическая статистика

21. Получены предельные теоремы, описывающие переходные явления для случайных блужданий с малым сносом. Обобщены известные результаты Прохорова-Кингмана на случай разно-распределенных скачков в схеме серий и распространены на случай бесконечных вторых моментов (А. А. Боровков).

1.7.1. Физика элементарных частиц и фундаментальных взаимодействий

22. Развит систематический подход для конструкции эффективного действия N=4 теории SYM, зависящего от всех N=2 суперполей векторного мультиплета и гипермультиплета. Вычислен ведущий вклад в эффективное одно-петлевое действие, получено точное функциональное представление для зависимости эффективного действия от полей гипермультиплета и от произвольной степени ковариантных производных векторного мультиплета. Показано, что первый член разложения этого функционала неренормируется высшими квантовыми поправками (Н. Г. Плетнев совместно с И. Л. Бухбиндером (Томск)).

2.2.2. Математическое моделирование, методы вычислительной и прикладной математики и их применение

23. Доказана теорема об однозначном разложении факторного языка в произведение факторных языков (C. В. Августинович, А. Э. Фрид).
24. Найдена новая конструкция транзитивных двоичных кодов (Ф. И. Соловьева).
25. Получено полное описание векторов разнообразия шаров в метрических пространствах деревьев (Т. И. Федоряева).
26. Найдена асимптотика по n для числа k-неразделенных семейств подмножеств n-элементного множества при k>2 (А. Д. Коршунов).
27. Разработаны алгоритмы решения ряда задач дискретной оптимизации с логическими ограничениями на основе использования моделей целочисленного линейного программирования и лексикографического перебора элементов L-разбиения (ОФ ИМ СО РАН, А. А. Колоколов, А. В. Адельшин, Д. И. Ягофарова совместно с А. Н. Тюрюмовым (аспирант ОмГУ)).

Директор Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН        академик Ю. Л. Ершов

↑↑