Важнейшие научные результаты Института математики за 2003 год

• 1.1.1. Алгебра, теория чисел и математическая логика
• 1.1.2. Геометрия и топология
• 1.1.3. Математический анализ, дифференциальные уравнения и математическая физика
• 1.1.4. Теория вероятностей и математическая статистика
• 1.1.5. Вычислительная математика
• 1.7.1. Физика элементарных частиц и фундаментальных взаимодействий
• 2.2.2. Математическое моделирование, методы вычислительной и прикладной математики и их применение
• 2.2.3. Фундаментальные проблемы построения систем автоматизации, математические методы исследований нелинейных управляющих систем и процессов

1.1.1. Алгебра, теория чисел и математическая логика

1. Полностью описаны все возможные семейства ∑-подмножеств множества натуральных чисел в допустимых множествах. Получена новая серия примеров допустимых множеств без универсальной ∑-функции (А. С. Морозов, В. Г. Пузаренко).
2. Доказано, что существует лишь конечное число позитивных пропозициональных логик с проективным свойством Бета, и найдено их исчерпывающее описание (Л. Л. Максимова).
3. На основе обобщения теоремы о ветвящихся моделях и новых алгебраических инвариантов получено полное описание автоустойчивых булевых алгебр с выделенными идеалами и спектра их алгоритмических размерностей (П. Е. Алаев).
4. Доказана определимость класса o-минимальных и слабо o-минимальных теорий через E^*-стабильность (Е. А. Палютин).
5. Доказано, что алгебра Ли с автоморфизмом конечного порядка, имеющим конечномерную подалгебру неподвижных точек, обладает разрешимым идеалом конечной коразмерности (Н. Ю. Макаренко, Е. И. Хухро).
6. Показано, что произвольная супералгебра Шура квазинаследственна или клеточна, тогда и только тогда, когда она полупроста (г. Омск, А. Н. Зубков).

1.1.2. Геометрия и топология

7. Исследованы квазиизометрические отображения областей в многомерных евклидовых пространствах. Установлено, что с точностью до изометрии пространства отображение зависит непрерывно в смысле топологии классов Соболева от своего метрического тензора (Ю. Г. Решетняк).

1.1.3. Математический анализ, дифференциальные уравнения и математическая физика

8. Получено описание отображений, индуцирующих по правилу суперпозиции ограниченный оператор (или изоморфизм) пространств Соболева с первыми обобщенными производными (С. К. Водопьянов).
9. Доказано, что если r>1 и система l-го порядка линейных дифференциальных уравнений в частных производных с измеримыми коэффициентами и правыми частями является равномерно эллиптической, то при достаточно медленном изменении старших ее коэффициентов степень локальной суммируемости старших производных каждого W¹_r.loc- решения системы такая же, как у ее младших коэффициентов и правых частей (А. П. Копылов).
10. Для произвольного интегрального функционала доказана плотность множества функций, на которых он одновременно устойчив и полунепрерывен снизу (М. А. Сычёв).
11. Разработана термодинамически согласованная модель нелинейной упругости, описываемая симметрической гиперболической системой. При этом моделировании используется лишь часть решений, подчинённых дополнительным уравнениям, совместным с системой. Только на этих решениях справедливы законы сохранения, которые обычно рассматриваются в виде уравнений, управляющих упругими процессами (С. К. Годунов).

1.1.4. Теория вероятностей и математическая статистика

12. Найдена асимптотика вероятностей больших уклонений распределения вещественнозначной асимптотически однородной цепи Маркова в так называемом крамеровском случае, когда скачки цепи имеют конечные экспоненциальные моменты. Для таких цепей установлена временная зона, в которой хвост распределения эквивалентен хвосту инвариантного распределения (Д. А. Коршунов).
13. Для критического ветвящегося процесса Гальтона-Ватсона получено обобщение классической теоремы Крамера о вероятностях больших уклонений. Найдены верхние оценки для вероятностей больших уклонений как в случае выполнения условия Крамера, так и в случае, когда существует лишь конечное число моментов выше первого (С. В. Нагаев, В. И. Вахтель).

1.1.5. Вычислительная математика

14. На основе обобщения метода Гельфанда-Левитана-Крейна построен алгоритм численного решения многомерной обратной задачи акустики об определении плотности среды (С. И. Кабанихин).

1.7.1. Физика элементарных частиц и фундаментальных взаимодействий

15. Вычислены относительные интенсивности распадов и кривые возбуждения векторных резонансов в пятипионных каналах. Предложены способы проверки теоретических предсказаний. Обосновано новое направление – исследование киральной динамики многопионных систем (Н. Н. Ачасов, А. А. Кожевников).

2.2.2. Математическое моделирование, методы вычислительной и прикладной математики и их применение

16. Доказано, что всякая центрированная функция (сумма значений в каждом шаре радиуса 1 равна нулю), заданная на дискретном пространстве с метрикой Хэмминга, состоящем из всех вершин n-мерного единичного куба, может быть восстановлена внутри произвольной сферы по ее значениям на этой сфере (С. В. Августинович, А. Ю. Васильева).
17. Для широкого класса задач теории расписаний, в которых допускается прерывание операций, получен ряд общих результатов, касающихся существования и структурных свойств оптимальных решений. Доказана теорема о структуре оптимального решения задач в случае целевых функций вида суммы или максимума конечного числа кусочно-линейных функций, зависящих от моментов завершения операций. Установлены полиномиальные верхние оценки на число прерываний в оптимальном расписании (А. В. Кононов, М. И. Свириденко, С. В. Севастьянов совместно с Ф. Баптистом, Ж. Карлье (Франция) и М. Кераном (Канада)).
18. Получена верхняя оценка аддитивной сложности слова, зависящая только от кратностей вхождения подслов фиксированной длины и достижимая на наиболее сложных словах (В. Н. Потапов).
19. Разработаны точные и приближенные алгоритмы с гарантированными оценками точности для задачи двухуровневого программирования с ограничениями общего вида на верхнем уровне и с задачей о многовариантном ранце на нижнем уровне (А. В. Плясунов).
20. Для задачи календарного планирования с ограниченными ресурсами разработан новый алгоритм локального поиска, основанный на идее чередующихся окрестностей (Ю. А. Кочетов, А. А. Столяр).
21. Охарактеризованы равномерно рекуррентные бесконечные слова, имеющие линейно растущую арифметическую сложность (А. Э. Фрид).
22. Дано полное описание фасет многогранника Вебера. Предложен новый подход к сравнительному анализу взвешенных дележей Шепли и вероятностных значений кооперативных игр, основанный на полученной характеризации d-распределений Вебера (В. А. Васильев).
23. Найдены оценки качества получаемых решений для эволюционных методов типа алгоритма случайного поиска с пересчетом при неудачном шаге, а также условия, при которых эти методы оказываются наилучшими в классе эволюционных алгоритмов (г. Омск, А. В. Еремеев, П. А. Борисовский).

2.2.3. Фундаментальные проблемы построения систем автоматизации, математические методы исследований нелинейных управляющих систем и процессов

24. Предложено формальное описание синтаксиса языка машин состояний UML и его операционной семантики. Определено подмножество этого языка, допускающее эффективную реализацию. Разработан и реализован алгоритм трансляции спецификаций UML в исполняемый код на языке Java (О. Ю. Чунихин).

Утверждены на заседании Учёного совета Института 11 декабря 2003 года (Протокол № 16).

Директор Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН       академик Ю. Л. Ершов

↑↑