Важнейшие научные результаты Института математики за 2002 год

• 1.1.1. Алгебра, теория чисел и математическая логика
• 1.1.2. Геометрия и топология
• 1.1.3. Математический анализ, дифференциальные уравнения и математическая физика
• 1.1.4. Теория вероятностей и математическая статистика
• 1.1.5. Вычислительная математика
• 1.7.1. Физика элементарных частиц и фундаментальных взаимодействий
• 2.2.2. Математическое моделирование, методы вычислительной и прикладной математики и их применение

1.1.1. Алгебра, теория чисел и математическая логика

1. Построена финитарная версия абстрактной теории полей классов. Это позволило предложить эффективный (алгоритмический) вариант глобальной теории полей классов для полей алгебраических чисел (Ю. Л. Ершов).
2. Установлена связь алгоритмической сложности категоричных в мощности теорий и их моделей. Решена известная проблема о существовании счетно и несчетно категоричных теорий любой арифметической сложности и имеющих вычислимые модели. Доказана модельная полнота теорий обогащений счетных моделей константами сильно минимальных с тривиальной геометрией теорий и предельная разрешимость всех счетных моделей таких теорий, имеющих вычислимые модели (С. С. Гончаров совместно с Б. Хусаиновым (Новая Зеландия) и В. Харизановым, К. Ласковски, С. Лемппом, Ч. Маккоем (США)).
3. Решена проблема описания модальных логик, содержащих известную логику Гжегорчика и обладающих проективным свойством Бета. Доказано, что существует в точности двенадцать непротиворечивых расширений логики Гжегорчика с указанным свойством. Найдены аксиоматизация и семантическая характеризация всех указанных логик (Л. Л. Максимова).
4. Получено полное и естественное описание однородных булевых алгебр, обладающих вычислимым представлением. Это является ответом на вопрос, известный с 1982 года (П. Е. Алаев).
5. Показано, что класс SUB подрешеток решеток выпуклых подмножеств частично упорядоченных множеств является конечно базируемым многообразием. Более того, конечная решетка лежит SUB в том и только том случае, когда она вложима в решетку выпуклых подмножеств конечного частично упорядоченного множества (М. В. Семенова совместно с Ф. Вэрунгом (Франция)).
6. Доказана замкнутость операции элементарных пар для следующих классов полных теорий: примитивно нормальные; аддитивные, антиаддитивные и примитивно связные. Отсюда вытекает P-стабильность класса примитивно связных теорий, что обобщает известный результат Баура-Циглера о стабильности полных теорий модулей (Е. А. Палютин).
7. Доказано, что во всякой линейно упорядоченной группе, являющейся расширением нильпотентной группы с помощью полициклической группы, существует конечный нормальный ряд из выпуклых подгрупп, факторы которого нильпотентны либо архимедовы (В. М. Копытов совместно с В. В. Блудовым (Иркутск)).
8. Получена характеризация ручных автоморфизмов колец многочленов от трех переменных в терминах некоторых специальных преобразований, называемых сокращениями, дающая алгоритм для проверки является ли данный автоморфизм ручным. В частности, отрицательно решена «проблема ручных автоморфизмов» (И. П. Шестаков).
9. Дана классификация простых йордановых псевдоалгебр конечного ранга (П. С. Колесников).
10. Доказана конечность группы, порожденной классом сопряженных элементов порядка 3 конечного типа и действующей свободно на абелевой группе (В. Д. Мазуров, В. А. Чуркин).
11. Доказана почти геометричность разложений фундаментальных групп замкнутых поверхностей в свободные конструкции (О. В. Богопольский).

1.1.2. Геометрия и топология

12. Доказано, что гомеоморфность 3-мерной сфере пространства направлений 4-мерного многообразия Александрова ограниченной сверху кривизны влечет гипотезу Пуанкаре (г. Омск, В. Н. Берестовский).
13. Построено геометрическое исчисление символов псевдодифференциальных операторов на многообразиях со связностью (В. А. Шарафутдинов).
14. Доказаны теоремы единственности решений задачи нахождения неизвестного гамильтониана, описывающего риманову метрику в области (В. П. Голубятников).

1.1.3. Математический анализ, дифференциальные уравнения и математическая физика

15. На эквирегулярных пространствах Карно–Каратеодори доказана P-дифференцируемость липшицевых (относительно метрики Карно–Каратеодори) отображений (С. К. Водопьянов, А. В. Грешнов).
16. Разработаны элементы теории гиперболических отображений, связанных с задачами томографии.Доказаны теоремы о возможности отображения выпуклой области общего вида на каноническую область и теоремы единственности для обратных задач томографии (академик М. М. Лаврентьев).
17. Показано, что обратная задача для системы уравнений Максвелла распадается на три последовательно решаемых задачи. Метод изучения задачи может служить основой для создания вычислительного алгоритма ее решения (В. Г. Романов).
18. Сформулирована и доказана теорема единственности решения трехмерной нелинейной обратной задачи для системы уравнений Ламе (Ю. Е. Аниконов совместно с М. Ямомото (Япония)).
19. Получены новые формулы обращения и создан пакет программ для решения задач векторной томографии на плоскости (А. А. Бухгейм, С. Г. Казанцев).
20. Для полуограниченных самосопряженных дифференциальных операторов с многоточечными граничными условиями общего вида построен аналог известной теории М.Морса, связывающей число положительных собственных значений оператора с количеством так называемых сопряженных точек на заданном интервале (В. С. Белоносов, Т. И. Зеленяк).
21. Предложена новая модель двухфазной двухжидкостной среды, определяющие дифференциальные уравнения которой – гиперболическая система термодинамически согласованных законов баланса в консервативной форме, допускающая применение развитой математической теории и эффективных численных методов для анализа решений (Е. И. Роменский совместно с Е. Ф. Торо (Англия)).
22. Изучены условия асимптотической устойчивости решений нелинейных периодических разностных уравнений и нелинейных периодических дифференциальных уравнений. С использованием параметров устойчивости, введенных авторами, установлены оценки, характеризующие поведение решений на бесконечности (А. Я. Булгаков, Г. В. Демиденко, И. И. Матвеева).
23. Показано, что системе уравнений С. А. Чаплыгина отвечает бесконечное множество законов сохранения на физической плоскости и плоскости годографа (А. И. Рылов).

1.1.4. Теория вероятностей и математическая статистика

24. Найдено асимптотическое поведение вероятности пересечения удаленной границы траекторией асимптотически однородной в пространстве цепи Маркова. Для таких цепей установлен аналог закона повторного логарифма (А. А. Боровков).
25. Получены верхние оценки для вероятности больших уклонений автонормированных сумм в случае неодинаково распределенных слагаемых в терминах ляпуновского отношения. Ранее верхние оценки для вероятности больших уклонений автонормированных сумм выводились только для одинаково распределенных слагаемых (С. В. Нагаев).

1.1.5. Вычислительная математика

26. При исследовании задач об обтекании бесконечного плоского клина сверхзвуковым потоком газа получен важный результат: при финитных начальных данных сильная ударная волна со временем затухает (угол при вершине клина достаточно мал) (А. М. Блохин, Д. Л. Ткачёв).
27. Разработан метод последовательных приближений для решения линейных задач оптимального управления, основанный на кусочно-линейной аппроксимации функций в фазовом пространстве и симплексных покрытиях выпуклых компактных тел (В. И. Болдырев, Г. В. Шевченко).

1.7.1. Физика элементарных частиц и фундаментальных взаимодействий

28. Вычислен вклад состояний π⁰γ и ηγ в аномальный магнитный момент мюона через поляризацию вакуума с высокой точностью, a_μ(π⁰γ+ηγ)=(53.1±1.5)·10^-11 (Н. Н. Ачасов, Киселев А. В.).

2.2.2. Математическое моделирование, методы вычислительной и прикладной математики и их применение

29. Показано, что алгоритмическая сложность условий идентифицируемости линейных стационарных стохастических систем полностью определяется структурой матрицы наблюдения. Предложен новый подход к классификации линейных систем (А. А. Ломов).
30. На основе анализа орбит пространства двоичных слов, определяемых группой перестановочных автоморфизмов кодов Хемминга, получены следующие результаты: найдена классификация совершенных кодов размерности 15, получаемых сдвигами компонент; значительно расширен класс конструкций нелинейных совершенных кодов; доказано, что порядок группы автоморфизмов кода Хемминга по крайней мере в 2 раза больше чем у произвольного нелинейного кода (С. А. Малюгин).
31. Разработан приближенный алгоритм с гарантированной точностью 24/13 для решения задач построения расписания работ с отношениями предшествования в иерархической коммуникационной системе (А. В. Кононов).
32. Построены: комбинаторный алгоритм с рекордной оценкой точности 4.56 для метрической многоуровневой задачи размещения и комбинаторный алгоритм с рекордной оценкой точности 9.00 для более общей задачи с ограниченными объемами производства (А. А. Агеев).
33. Доказано, что любая правильная раскраска двух вершин в плоском графе без 3-циклов может быть продолжена до правильной раскраски в три цвета всех вершин графа (О. В. Бородин, А. Н. Глебов).
34. Для r = 6,8,10,12 построены r-регулярные 4–критические по раскраске графы, что дает частичное подтверждение гипотезы Эрдеша (1989 г.) о существовании таких графов для любого r>3 (А. А. Добрынин, Л. С. Мельников, А. В. Пяткин).
35. В моделях с векторными решетками продуктов получены обобщения известных теорем существования экономического равновесия, основанные на новых понятиях правильности предпочтений и производственных множеств (В. М. Маракулин совместно с М. Флорезано (Франция)).
36. Разработана теория гипотетических симметричных генных сетей с заданными свойствами. Проведённое качественное и численное исследование соответствующих автономных систем, явилось обоснованием критерия, сформулированного в ИЦиГ, предсказывающего предельные свойства решений (С. И. Фадеев, А. Ю. Березин, В. В. Когай, И. А. Гайнова).
37. Предложен подход к анализу устойчивости алгоритмов решения задач целочисленного программирования, основанных на использовании релаксационных множеств задач. Доказана устойчивость алгоритмов перебора L-классов и некоторых двойственных дробных алгоритмов отсечения (г. Омск, А. А. Колоколов, М. В. Девятерикова).

Утверждены на заседании Учёного совета Института 15 ноября 2002 года (Протокол № 6).

Директор Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН       академик Ю. Л. Ершов

↑↑