Важнейшие научные результаты Института математики за 2000 год

• 1.1.1. Алгебра, теория чисел и математическая логика
• 1.1.2. Геометрия и топология
• 1.1.3. Математический анализ, дифференциальные уравнения и математическая физика
• 1.1.4. Теория вероятностей и математическая статистика
• 1.1.5. Вычислительная математика
• 1.7.1. Физика элементарных частиц и фундаментальных взаимодействий
• 2.2.2. Математическое моделирование, методы вычислительной и прикладной математики и их применение
• 2.2.4. Проблемы искусственного интеллекта, распознавание образов, принятие решений и экспертные системы

1.1.1. Алгебра, теория чисел и математическая логика

1. Для ассоциативных конформных алгебр построена теория базисов Гребнера - Ширшова, основанная на доказанной лемме о композиции-Diamond для этих алгебр (Л. А. Бокуть совместно с Ю. Фонгом и В.-Ф. Ке (Тайвань)).
2. Доказано, что в многообразии групп монотонных преобразований линейно упорядоченного множества имеется наибольшее собственное подмногообразие и указаны тождества, задающее это подмногообразие (В. М. Копытов совместно с Й. Рахунеком (Чехия)).
3. Получено исчерпывающее описание групп, содержащих элементы всех порядков, не превосходящих 5, и не содержащих элементов других порядков; доказано, в частности, что эти группы локально конечны (В. Д. Мазуров).
4. Построено расширение поля рациональных чисел, сочетающее в себе достоинства всех полей вещественных и p-адических чисел, имеющее разрешимую элементарную теорию и удовлетворяющее локально-глобальному принципу Хассе. Найдены легко применимые достаточные условия, при которых арифметический локально-глобальный принцип следует из геометрического (Ю. Л. Ершов).
5. Описана структура класса расширений минимальной логики с точностью до негативной эквивалентности. Установлено определение отрицания через унарный оператор абсурдности. Показано, что в ряде традиционных систем паранепротиворечивых логик, таких как логика Батенса CluN, логика Сэта P₁, логика Да Косты C₁, отрицание может быть определено на основании этого метода (С. П. Одинцов).
6. Развита теория мажорантно вычислимых вещественнозначных функионалов в случае, когда основной язык не содержит равенства, то есть является языком строго упорядоченных колец (О. В. Кудинов).
7. Решена сложная проблема описания суперинтуиционистских логик, обладающих проективным свойством Бета. Доказано, что в континуальном семействе суперинтуиционистских логик существуют в точности 16 логик с проективным свойством Бета. Найдены аксиоматизация и семантическая характеризация всех указанных логик. Получено исчерпывающее описание позитивных логик, обладающих проективным свойством Бета. Их оказалось семь. Доказана разрешимость проективного свойства Бета в семействах суперинтуиционистских и позитивных логик (Л. Л. Максимова).
8. Доказано, что любая конечно порожденная подгруппа группы Кокстера либо содержит свободную неабелеву подгруппу, либо почти абелева (г. Омск, Г. А. Носков).

1.1.2. Геометрия и топология

9. Дано доказательство классической гипотезы Каратеодори об омбилических точках аналитической поверхности (В. В. Иванов).
10. Построен пример интегрируемой системы (геодезического потока на компактном аналитическом многообразии), которая имеет положительную топологическую энтропию (И. А. Тайманов совместно с А. В. Болсиновым (Москва, МГУ)).
11. Получены описания класса трехмерных многообразий, циклически накрывающих трехмерную сферу, разветвленно над двухмостовыми узлами, через хирургии Дэна на семействе зацеплений и через двулистные разветвленные накрытия сферы, обобщающие подход Такахаши. В качестве следствия найдены циклические представления фундаментальных групп таких многообразий (А. Ю. Веснин).

1.1.3. Математический анализ, дифференциальные уравнения и математическая физика

12. В задаче определения слоистой структуры дна доказано, что при определении параметров слоистой структуры для заданного времени T может быть указано количество слоев и однозначно определены их упругие параметры (В. Г. Романов).
13. Дан способ восстановления симметрического тензорного поля с точностью до дивергентного слагаемого в аффинном пространстве, если известно его лучевое преобразование для всех прямых, пересекающих данную кривую (Л. Б. Вертгейм).
14. Доказана единственность определения потенциала стационарного уравнения Шредингера по частичному отображению Дирихле-Неймана (А. Л. Бухгейм).
15. Изучена возникающая в теории синхронизации резонаторов задача для параболического уравнения с малым параметром при старших производных по части пространственных переменных. Получены равномерные по малому параметру оценки решения в сильных нормах и обоснован предельный переход (М. М. Лаврентьев-мл., Д. Р. Ахметов).
16. Получено решение проблемы П.П.Белинского о топологических вложениях, сохраняющих конформные модули, при минимальных требованиях регулярности (В. В. Асеев).

1.1.4. Теория вероятностей и математическая статистика

17. Решена задача о больших уклонениях частично однородных в положительном квадранте цепей Маркова. Найдено полное описание точной асимптотики вероятности попадания в произвольное удаленное множество при выполнении условия Крамера. Одновременно установлено, что подобного полного описания в трехмерном случае не существует (А. А. Боровков, А. А. Могульский).

1.1.5. Вычислительная математика

18. Найдены достаточные условия, гарантирующие положительность классических полиномиальных сплайнов максимальной гладкости, интерполирующих на равномерной сетке положительную функцию (Ю. С. Волков).
19. Разработан метод редукции трехточечных разностных схем на сетках с полубесконечным числом узлов к разностным схемам на сетках с конечным числом узлов (г. Омск, А. И. Задорин).

1.7.1. Физика элементарных частиц и фундаментальных взаимодействий

20. На основании теоретического изучения ω - ρ интерференции показано, что относительная фаза между однофотонной ( J/ψ → ρ⁰η ) и трёхглюонной ( J/ψ → ωη ) амплитудами велика ( около 90° ) (Н. Н. Ачасов, В. В. Губин).

2.2.2. Математическое моделирование, методы вычислительной и прикладной математики и их применение

21. Получены конструктивные условия идентифицируемости параметров матричных линейных дифференциальных и разностных уравнений по наблюдениям решений в стохастическом и детерминированном случаях (А. А. Ломов).
22. Получен критерий несистематичности совершенных двоичных кодов с расстоянием 3, на основе которого найдены новые конструкции таких кодов (С. А. Малюгин).
23. Найдена новая комбинаторная конструкция сильно регулярных графов с параметрами графов обобщенных четырехугольников GQ(n+1,n-1), GQ(n,n) и GQ(n-1,n+1), где n - степень простого числа, а также дистанционно регулярных графов диаметра 3. Число получающихся неизоморфных графов гиперэкспоненциально от числа вершин (Д. Г. Фон-Дер-Флаасс).
24. Построен приближенный алгоритм с оценкой точности 1/2 для решения задачи о максимальном ориентированном разрезе с заданными размерами частей (А. А. Агеев, М. И. Свириденко).
25. Для многостадийной задачи размещения разработан новый вероятностный алгоритм поиска с запретами. Показано, для данного алгоритма вероятность не найти точное решение задачи стремится к нулю со скоростью геометрической прогрессии с ростом числа итераций (Ю. А. Кочетов, Е. Н. Гончаров).
26. Получено неулучшаемое описание строения окрестности ребра в плоских графах, из которого, в частности, следует точная верхняя оценка для глубины асимметрии плоских графов, т.е. наименьшего числа ребер, удаление которых приводит к образованию нетривиального автоморфизма (О. В. Бородин, А. Н. Глебов).
27. Доказана теорема существования конкурентного равновесия в моделях экономики типа Эрроу-Дебре с пространством товаров, являющимся линейной векторной решеткой, в которой предполагаются выполненными лишь слабейшие требования согласования порядковой и топологической структуры (В. М. Маракулин).
28. Разработан метод продолжения по параметру на основе множественной стрельбы для численного исследования нелинейных краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений с учетом возможности ветвления решений (С. И. Фадеев, В. В. Когай).
29. Разработаны полиномиальный алгоритм решения задачи размещения параллельно-последовательного графа на линии и гибридный алгоритм для произвольного ациклического графа, проведены экспериментальные исследования (г. Омск, Г. Г. Забудский, В. А. Мотовилов).

2.2.4. Проблемы искусственного интеллекта, распознавание образов, принятие решений и экспертные системы

30. В рамках Байесовского подхода найдены доверительные интервалы для вероятности ошибки распознавания в зависимости от объема обучающей выборки и размерности пространства в дискретном случае (В. Б. Бериков).

↑↑